2D хеширование

Поиск одинаковых подматриц в матрице символов

🐍 Python

mod = 10**9 + 7
p, q = 31, 57

def add(a, b):
    if a + b >= mod:
        return a + b - mod
    return a + b

def sub(a, b):
    if a - b < 0:
        return a - b + mod
    return a - b

def mul(a, b):
    return a * b % mod

n, k = map(int, input().split())
A = [input() for _ in range(n)]

H = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
PU = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
PV = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]

for i in range(n + 1):
    for j in range(k + 1):
        if i == 0 and j == 0:
            PU[i][j] = PV[i][j] = 1
        elif j == 0:
            PU[i][j] = 1
            PV[i][j] = mul(PV[i - 1][j], q)
        elif i == 0:
            PV[i][j] = 1
            PU[i][j] = mul(PU[i][j - 1], p)
        else:
            PU[i][j] = mul(PU[i][j - 1], p)
            PV[i][j] = mul(PV[i - 1][j], q)

for i in range(n):
    for j in range(k):
        x = ord(A[i][j]) - ord('a') + 1
        H[i + 1][j + 1] = add(H[i + 1][j + 1], x)
        H[i + 1][j + 1] = add(H[i + 1][j + 1], mul(H[i + 1][j], p))
        H[i + 1][j + 1] = add(H[i + 1][j + 1], mul(H[i][j + 1], q))
        H[i + 1][j + 1] = sub(H[i + 1][j + 1], mul(mul(H[i][j], p), q))

def func(x1, y1, x2, y2):
    a = x2 - x1 + 1
    b = y2 - y1 + 1
    h0 = H[x2 + 1][y2 + 1]
    h1 = mul(H[x2 + 1][y1], PU[a][b])
    h2 = mul(H[x1][y2 + 1], PV[a][b])
    h3 = mul(H[x1][y1], mul(PU[a][b], PV[a][b]))
    h = sub(sub(h0, h1), h2)
    h = add(h, h3)
    return h

def ok(m):
    D = dict()
    for i in range(n - m + 1):
        for j in range(k - m + 1):
            h = func(i, j, i + m - 1, j + m - 1)
            if h in D:
                i1, j1 = D[h]
                return True, i, j, i1, j1
            else:
                D[h] = (i, j)
    return False, -1, -1, -1, -1

l, r = 0, n + 1
while l < r - 1:
    m = (l + r) // 2
    f, _, _, _, _ = ok(m)
    if f:
        l = m
    else:
        r = m

f, x1, y1, x2, y2 = ok(l)
if l == 0:
    print(0)
else:
    print(l)
    print(x1 + 1, y1 + 1)
    print(x2 + 1, y2 + 1)

⚙️ C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const ll mod = 1000000007;
const ll p = 31, q = 57;

ll add(ll a, ll b) {
    if (a + b >= mod) return a + b - mod;
    return a + b;
}

ll sub(ll a, ll b) {
    if (a - b < 0) return a - b + mod;
    return a - b;
}

ll mul(ll a, ll b) {
    return a * b % mod;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    
    vector<string> A(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> A[i];
    }
    
    vector<vector<ll>> H(n + 1, vector<ll>(k + 1, 0));
    vector<vector<ll>> PU(n + 1, vector<ll>(k + 1, 0));
    vector<vector<ll>> PV(n + 1, vector<ll>(k + 1, 0));
    
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= k; j++) {
            if (i == 0 && j == 0) {
                PU[i][j] = PV[i][j] = 1;
            } else if (j == 0) {
                PU[i][j] = 1;
                PV[i][j] = mul(PV[i - 1][j], q);
            } else if (i == 0) {
                PV[i][j] = 1;
                PU[i][j] = mul(PU[i][j - 1], p);
            } else {
                PU[i][j] = mul(PU[i][j - 1], p);
                PV[i][j] = mul(PV[i - 1][j], q);
            }
        }
    }
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < k; j++) {
            ll x = A[i][j] - 'a' + 1;
            H[i + 1][j + 1] = add(H[i + 1][j + 1], x);
            H[i + 1][j + 1] = add(H[i + 1][j + 1], mul(H[i + 1][j], p));
            H[i + 1][j + 1] = add(H[i + 1][j + 1], mul(H[i][j + 1], q));
            H[i + 1][j + 1] = sub(H[i + 1][j + 1], mul(mul(H[i][j], p), q));
        }
    }
    
    auto func = [&](int x1, int y1, int x2, int y2) {
        int a = x2 - x1 + 1;
        int b = y2 - y1 + 1;
        ll h0 = H[x2 + 1][y2 + 1];
        ll h1 = mul(H[x2 + 1][y1], PU[a][b]);
        ll h2 = mul(H[x1][y2 + 1], PV[a][b]);
        ll h3 = mul(H[x1][y1], mul(PU[a][b], PV[a][b]));
        ll h = sub(sub(h0, h1), h2);
        h = add(h, h3);
        return h;
    };
    
    auto ok = [&](int m) -> tuple<bool, int, int, int, int> {
        unordered_map<ll, pair<int, int>> D;
        for (int i = 0; i < n - m + 1; i++) {
            for (int j = 0; j < k - m + 1; j++) {
                ll h = func(i, j, i + m - 1, j + m - 1);
                auto it = D.find(h);
                if (it != D.end()) {
                    auto [i1, j1] = it->second;
                    return {true, i, j, i1, j1};
                } else {
                    D[h] = {i, j};
                }
            }
        }
        return {false, -1, -1, -1, -1};
    };
    
    int l = 0, r = n + 1;
    while (l < r - 1) {
        int m = (l + r) / 2;
        auto [f, _, __, ___, ____] = ok(m);
        if (f) l = m;
        else r = m;
    }
    
    auto [f, x1, y1, x2, y2] = ok(l);
    if (l == 0) {
        cout << 0 << "\n";
    } else {
        cout << l << "\n";
        cout << x1 + 1 << " " << y1 + 1 << "\n";
        cout << x2 + 1 << " " << y2 + 1 << "\n";
    }
    
    return 0;
}

Как работает 2D хеширование?

Двумерное хеширование — это метод, который позволяет быстро вычислять хеш любой подматрицы и находить одинаковые подматрицы в матрице символов.

Основная идея: Используем полиномиальный хеш с двумя основаниями (p для строк, q для столбцов), что позволяет однозначно идентифицировать любую подматрицу.

Предподсчёт степеней

PU[a][b] — p^a × q^b (степени для горизонтали и вертикали)
PV[a][b] — то же самое, но для другой размерности

Построение хеш-таблицы H

H[i][j] — хеш подматрицы от (0,0) до (i-1, j-1)
Используем формулу включений-исключений для пересчёта

Получение хеша подматрицы

Формула: h = H[x2+1][y2+1] - H[x2+1][y1]×p^b×q^a - H[x1][y2+1]×p^b×q^a + H[x1][y1]×p^b×q^a

Бинарный поиск

Алгоритм ищет максимальный размер квадратной подматрицы, которая встречается в матрице дважды (пересекаться может). Используется бинарный поиск по размеру.

Временная сложность: O(n×k×log n) — построение O(n×k), проверка каждого размера O(n×k).

Пространственная сложность: O(n×k) для хранения хешей и степеней.

Формат ввода и вывода

Ввод:

n k — размеры матрицы (n строк, k столбцов)
Далее n строк по k символов (строчные латинские буквы)

Вывод:

Первая строка — максимальный размер одинаковых подматриц
Далее координаты первой подматрицы (x1, y1)
Координаты второй подматрицы (x2, y2)
Если размер 0, выводится только 0

Пример ввода:

4 4
abac
bcab
caba
abac

Вывод:

2
1 1
3 3

Пояснение: подматрица 2×2 "ab" в позиции (1,1) и (3,3) совпадают.

Попробовать 2D хеширование онлайн

Введите матрицу и найдите одинаковые подматрицы:

Размеры n k: Матрица (каждая строка в новой строке):

Результат появится здесь...